斐波那契数列(Fibonacci)最早由印度数学家Gopala提出,而第一个真正研究斐波那契数列的是意大利数学家 Leonardo Fibonacci,斐波那契数列的定义很简单,用数学函数可表示为:
数列从0和1开始,之后的数由前两个数相加而得出,例如斐波那契数列的前10个数是:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34。
用 Python 实现斐波那契数列常见的写法有三种,各算法的执行效率也有很大差别,在面试中也会偶尔会被问到,通常面试的时候不是让你简单的用递归写写就完了,还会问你时间复杂度怎样,空间复杂度怎样,有没有可改进的地方。
递归法
所谓递归就是指函数的定义中使用了函数自身的方法
def fib_recur(n): assert n >= 0 if n in (0, 1): return n return fib_recur(n - 1) + fib_recur(n - 2) for i in range(20): print(fib_recur(i), end=" ") > 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181
递归是一种代码最简洁的方法,但它是效率非常低,因为会出现大量的重复计算,时间复杂度是:O(1.618 ^ n),1.618是黄金分割。同时受限于 Python 中递归的最大深度是 1000,所以用递归来求解并不是一种可取的办法。
递推法
递推法就是从0和1开始,前两项相加逐个求出第3、第4个数,直到求出第n个数的值
def fib_loop(n): a, b = 0, 1 for i in range(n): a, b = b, a + b return a for i in range(20): print(fib_loop(i), end=" ") > 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181
这种算法的时间复杂是O(n),呈线性增长,如果数据量巨大,速度越到后面会越慢。
上面两种方式都是使用分而治之的思想,就是把一个大的问题化小,然后利用小问题的求解得到目标问题的答案。
矩阵法
《线性代数》是大学计算机专业低年级的课程,这门课教的就是矩阵,那时候觉得这东西学起来很枯燥,没什么用处,工作后你才发现搞机器学习、数据分析、数据建模时大有用处,书到用时方恨少。其实矩阵的本质就是线性方程式。
斐波那契数列中两个相邻的项分别为:F(n) 和 F(n - 1),如果把这两个数当作一个2行1列的矩阵可表示为:
因为 F(n) = F(n-1)+F(n-2),所以就有:
通过反推,其实它是两个矩阵的乘积得来的
依此类推:
最后可推出:
因此想要求出F(n)的值,只要能求出右边矩阵的n-1次方的值,最后求得两矩阵乘积,取新矩阵的第一行的第一列的值即可,比如n=3时,
"htmlcode">
import numpy def fib_matr(n): return (numpy.matrix([[1, 1], [1, 0]]) ** (n - 1) * numpy.matrix([[1], [0]]))[0, 0] for i in range(20): print(int(fib_matr(i)), end=" ") > 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181
3中不同的算法效率对比:
从上面图可以看出递归法效率惊人的低,矩阵法在数据量比较大的时候才突显出它的优势,递推法随着数据的变大,所花的时间也越来越大。
以上就是本文的全部内容,希望对大家的学习有所帮助,也希望大家多多支持。
python,实现斐波那契数列
稳了!魔兽国服回归的3条重磅消息!官宣时间再确认!
昨天有一位朋友在大神群里分享,自己亚服账号被封号之后居然弹出了国服的封号信息对话框。
这里面让他访问的是一个国服的战网网址,com.cn和后面的zh都非常明白地表明这就是国服战网。
而他在复制这个网址并且进行登录之后,确实是网易的网址,也就是我们熟悉的停服之后国服发布的暴雪游戏产品运营到期开放退款的说明。这是一件比较奇怪的事情,因为以前都没有出现这样的情况,现在突然提示跳转到国服战网的网址,是不是说明了简体中文客户端已经开始进行更新了呢?
更新日志
- 孙悦.1996-伙伴【正大国际】【WAV+CUE】
- 纪钧瀚《钢琴阅读时光 雨中书店聆听轻音乐》[FLAC/分轨][399.62MB]
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- 许巍.2004-每一刻都是崭新的【步升大风】【WAV+CUE】
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- 陈雷.1997-安锁咧【金圆唱片】【WAV+CUE】
- 关淑怡.2013-MY.FAVORITE.SK.3CD【环球】【WAV+CUE】
- Sweety.2006-花言乔语【丰华】【WAV+CUE】