python 计算概率密度、累计分布、逆函数的例子

脚本专栏 2024/11/18 佚名

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计算概率分布的相关参数时，一般使用 scipy 包，常用的函数包括以下几个：

pdf：连续随机分布的概率密度函数

pmf：离散随机分布的概率密度函数

cdf：累计分布函数

百分位函数（累计分布函数的逆函数）

生存函数的逆函数（1 - cdf 的逆函数）

函数里面不仅能跟一个数据，还能跟一个数组。下面用正态分布举例说明：

> import scipy.stats as st

> st.norm.cdf(0) # 标准正态分布在 0 处的累计分布概率值
0.5

> st.norm.cdf([-1, 0, 1])# 标准正态分布分别在 -1， 0， 1 处的累计分布概率值
array([0.15865525, 0.5, 0.84134475])

> st.norm.pdf(0) # 标准正态分布在 0 处的概率密度值
0.3989422804014327

> st.norm.ppf(0.975)# 标准正态分布在 0.975 处的逆函数值
1.959963984540054

> st.norm.lsf(0.975)# 标准正态分布在 0.025 处的生存函数的逆函数值
1.959963984540054

对于非标准正态分布，通过更改参数 loc 与 scale 来改变均值与标准差：

> st.norm.cdf(0, loc=2, scale=1) # 均值为 2，标准差为 1 的正态分布在 0 处的累计分布概率值
0.022750131948179195

对于其他随机分布，可能更改的参数不一样，具体需要查官方文档。下面我们举一些常用分布的例子：

> st.binom.pmf(4, n=100, p=0.05) # 参数值 n=100, p=0.05 的二项分布在 4 处的概率密度值
0.17814264156968956

> st.geom.pmf(4, p=0.05) # 参数值 p=0.05 的几何分布在 4 处的概率密度值
0.04286875

> st.poisson.pmf(2, mu=3) # 参数值 mu=3 的泊松分布在 2 处的概率密度值
0.22404180765538775

> st.chi2.ppf(0.95, df=10) # 自由度为 10 的卡方分布在 0.95 处的逆函数值
18.307038053275146

> st.t.ppf(0.975, df=10) # 自由度为 10 的 t 分布在 0.975 处的逆函数值
2.2281388519649385

> st.f.ppf(0.95, dfn=2, dfd=12) # 自由度为 2, 12 的 F 分布在 0.95 处的逆函数值
3.8852938346523933

补充拓展：给定概率密度,生成随机数 python实现

实现的方法可以不止一种：

rejection sampling

invert the cdf

Metropolis Algorithm (MCMC)

本篇介绍根据累积概率分布函数的逆函数(2：invert the CDF)生成的方法。

自己的理解不一定正确，有错误望指正。

目标：

已知 y=pdf(x），现想由给定的pdf, 生成对应分布的x

PDF是概率分布函数，对其积分或者求和可以得到CDF（累积概率分布函数），PDF积分或求和的结果始终为1

步骤（具体解释后面会说）：

1、根据pdf得到cdf

2、由cdf得到inverse of the cdf

3、对于给定的均匀分布[0,1),带入inverse cdf，得到的结果即是我们需要的x

求cdf逆函数的具体方法：

对于上面的第二步，可以分成两类：

1、当CDF的逆函数好求时，直接根据公式求取，

2、反之当CDF的逆函数不好求时，用数值模拟方法

自己的理解：为什么需要根据cdf的逆去获得x？

原因一：

因为cdf是单调函数因此一定存在逆函数（cdf是s型函数，而pdf则不一定，例如正态分布，不单调，对于给定的y，可能存在两个对应的x，就不可逆）

原因二：

这仅是我自己的直观理解，根据下图所示（左上为pdf，右上为cdf）

由步骤3可知，我们首先生成[0，1)的均匀随机数，此随机数作为cdf的y，去映射到cdf的x（若用cdf的逆函数表示则是由x映射到y），可以参考上图的右上，既然cdf的y是均匀随机的，那么对于cdf中同样范围的x，斜率大的部分将会有更大的机会被映射，因为对应的y范围更大（而y是随即均匀分布的），那么，cdf的斜率也就等同于pdf的值，这正好符合若x的pdf较大，那么有更大的概率出现（即重复很多次后，该x会出现的次数最多）

代码实现——方法一，公式法

import numpy as np
import math
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import collections

count_dict = dict()
bin_count = 20

def inverseCDF():
 """
 return the x value in PDF
 """
 uniform_random = random.random()
 return inverse_cdf(uniform_random)
 

def pdf(x):
 return 2 * x
 
# cdf = x^2, 其逆函数很好求，因此直接用公式法
def inverse_cdf(x):
 return math.sqrt(x)


def draw_pdf(D):
	global bin_count
 D = collections.OrderedDict(sorted(D.items()))
 plt.bar(range(len(D)), list(D.values()), align='center')
 # 因为映射bin的时候采用的floor操作，因此加上0.5
 value_list = [(key + 0.5) / bin_count for key in D.keys()]
 plt.xticks(range(len(D)), value_list)
 plt.xlabel('x', fontsize=5)
 plt.ylabel('counts', fontsize=5)
 plt.title('counting bits')
 plt.show()

for i in range(90000):
 x = inverseCDF()
 # 用bin去映射，否则不好操作
 bin = math.floor(x * bin_count) # type(bin): int
 count_dict[bin] = count_dict.get(bin, 0) + 1

draw_pdf(count_dict)

结果：

代码实现——方法二，数值法

数值模拟cdf的关键是创建lookup table，

table的size越大则结果越真实（即区间划分的个数）

import numpy as np
import math
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import collections

lookup_table_size = 40
CDFlookup_table = np.zeros((lookup_table_size))

count_dict = dict()
bin_count = 20

def inverse_cdf_numerically(y):
 global lookup_table_size
 global CDFlookup_table
 value = 0.0
 for i in range(lookup_table_size):
  x = i * 1.0 / (lookup_table_size - 1)
  value += pdf2(x)
  CDFlookup_table[i] = value
 CDFlookup_table /= value # normalize the cdf

 if y < CDFlookup_table[0]: 
  t = y / CDFlookup_table[0]
  return t / lookup_table_size
 index = -1
 for j in range(lookup_table_size):
  if CDFlookup_table[j] >= y:
   index = j
   break
 # linear interpolation
 t = (y - CDFlookup_table[index - 1]) /   (CDFlookup_table[index] - CDFlookup_table[index - 1])
 fractional_index = index + t # 因为index从0开始,所以不是 (index-1)+t
 return fractional_index / lookup_table_size


def inverseCDF():
 """
 return the x value in PDF
 """
 uniform_random = random.random()
 return inverse_cdf_numerically(uniform_random)


def pdf2(x):
 return (x * x * x - 10.0 * x * x + 5.0 * x + 11.0) / (10.417)

def draw_pdf(D):
 global bin_count
 D = collections.OrderedDict(sorted(D.items()))
 plt.bar(range(len(D)), list(D.values()), align='center')
 value_list = [(key + 0.5) / bin_count for key in D.keys()]
 plt.xticks(range(len(D)), value_list)
 plt.xlabel('x', fontsize=5)
 plt.ylabel('counts', fontsize=5)
 plt.title('counting bits')
 plt.show()


for i in range(90000):
 x = inverseCDF()
 bin = math.floor(x * bin_count) # type(bin): int
 count_dict[bin] = count_dict.get(bin, 0) + 1

draw_pdf(count_dict)

真实函数与模拟结果

扩展：生成伯努利、正太分布

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
"""
reference:
https://blog.demofox.org/2017/07/25/counting-bits-the-normal-distribution/
"""


def plot_bar_x():
 # this is for plotting purpose
 index = np.arange(counting.shape[0])
 plt.bar(index, counting)
 plt.xlabel('x', fontsize=5)
 plt.ylabel('counts', fontsize=5)
 plt.title('counting bits')
 plt.show()


# if dice_side=2, is binomial distribution
# if dice_side>2 , is multinomial distribution
dice_side = 2
# if N becomes larger, then multinomial distribution will more like normal distribution
N = 100

counting = np.zeros(((dice_side - 1) * N + 1))

for i in range(30000):
 sum = 0
 for j in range(N):
  dice_result = np.random.randint(0, dice_side)
  sum += dice_result

 counting[sum] += 1

# normalization
counting /= np.sum(counting)
plot_bar_x()

以上这篇python 计算概率密度、累计分布、逆函数的例子就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持。

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